一、Sobolev方程的各向异性有限元的高精度分析（论文文献综述）
石东洋,李超群[1]（2020）在《Maxwell方程的各向异性MECHL元的高精度分析》文中研究指明主要研究在各向异性网格下MECHL元对Maxwell方程的应用.通过证明一个新的引理,结合该单元已有的高精度估计,给出相应的向后Euler全离散格式以及Crank-Nicolson-Galerkin全离散格式的超逼近和超收敛的结果.同时,通过算例验证了理论分析的正确性.该结果进一步说明传统有限元分析中要求的剖分满足正则性条件是不必要的,从而克服了以往文献的不足.
石东洋,王俊俊[2]（2019）在《非线性发展方程的无网格比高精度有限元方法》文中研究说明对于几类非线性的发展型方程——非线性抛物方程、非线性Schr?dinger方程、非线性Sobolev方程、非线性双曲方程,本文从协调有限元方法、非协调有限元方法、混合有限元方法等不同角度,利用不同技巧深入系统地研究了其线性化的全离散格式的构造、无网格比约束下的超逼近和超收敛分析.
王芬玲,樊明智,赵艳敏,史争光,石东洋[3]（2018）在《多项时间分数阶扩散方程各向异性线性三角元的高精度分析》文中认为在各向异性网格下,针对具有Caputo导数的二维多项时间分数阶扩散方程,给出了线性三角形元的高精度分析.首先,基于线性三角形元和改进的L1格式,建立了一个全离散逼近格式,并证明了其无条件稳定性;其次,利用有限元插值算子与Riesz投影算子之间的关系及相关的高精度结果,导出了超逼近性质.进而,借助于插值后处理技术得到了超收敛估计.值得指出的是,单独利用插值算子或Riesz投影都无法得到上述超逼近和超收敛结果.最后,利用数值算例验证了理论分析的正确性.此外,对一些常见的有限单元在该方程的数值逼近方面,作了进一步探讨.
王乐乐[4]（2017）在《若干偏微分方程的混合有限元方法研究》文中提出本论文主要研究几类四阶发展方程（非线性Molecular Beam Epitaxy（MBE）方程、Sivashinsky方程以及双曲方程）和二阶椭圆特征值问题的混合有限元方法.分别从协调和非协调混合元出发,对其收敛性、超逼近、超收敛以及外推等方面进行深入系统的研究.首先,探讨了两类四阶非线性MBE方程的协调混合元方法.利用双线性元插值的高精度估计,分别在半离散和两种全离散格式（Backward-Euler（B-E）和CrankNicolson（C-N））下,导出了原始变量u和中间变量p在H1模意义下的超逼近,然后通过插值后处理技术给出了这两个变量的整体超收敛结果.其次,考虑了四阶非线性Sivashinsky方程的一个低阶非协调混合元和扩展的新混合元方法.一方面,利用非协调EQ1rot元的两个特殊性质:相容误差在能量模意义下为O（h2）阶（比插值误差高一阶）以及其插值算子与Ritz投影算子等价,分别在半离散以及B-E全离散格式下,得到了原始变量u和中间变量p在能量模意义下O（h2）阶的超逼近和超收敛结果.另一方面,对该方程建立一个扩展的新混合元格式,借助于最低阶Raviart-Thomas（R-T）元的特殊性质,积分恒等式技巧和插值后处理技术,在半离散和B-E全离散格式下给出了相关变量的超逼近和整体超收敛结果.再次,讨论了四阶双曲波动方程协调双线性混合元方法.利用插值和投影相结合的技巧,分别在半离散和全离散格式下,得到了原始变量u和中间变量p在H1模意义下O（h2）阶的超逼近和超收敛结果.对比以往文献中单独使用插值的方法,利用插值和投影相结合的优势在于不仅降低了u,ut和p的光滑度,而且得到了超收敛结果.最后,研究了Poisson特征值问题非协调有限元以及混合元方法.一方面,将一个非协调四边形元（改进的类Wilson元）应用于该问题,利用此单元所具有的的特殊性质（当u∈H3（?）时,相容误差为O（h2）阶,比其插值误差O（h）高一阶）和插值后处理技巧,分别在广义矩形网格和矩形网格下,得到了特征向量u在能量模意义下的超逼近和超收敛结果;接下来,证明了该单元一个新的性质,即:当u∈H5（?）时,其相容误差在任意四边形网格下能够达到O（h4）阶,基于上述特性并结合协调双线性元的渐近展开式,得到了特征值O（h4）阶的外推解.另一方面,对该方程建立了一个新的非协调混合元方法,利用EQ1rot元和最低阶R-T元的特殊性质,分别得到了原始变量u和辅助变量?p的最优误差估计以及特征值λ的下界逼近;进一步地,根据积分恒等式技巧和插值后处理技术,给出了u在能量模意义下以及?p在L2模意义下O（h2）阶的超逼近和超收敛结果;最后,根据渐近展开式,得到了特征值O（h3）阶的外推解.同时,针对上述每一部分都给出对应的数值算例来验证理论分析的正确性。
刁群,石东洋,张芳[5]（2016）在《Sobolev方程一个新的H1-Galerkin混合有限元分析》文中研究说明研究了Sobolev方程的H1-Galerkin混合有限元方法.利用不完全双二次元Q2-和一阶BDFM元,建立了一个新的混合元模式,通过Bramble-Hilbert引理,证明了单元对应的插值算子具有的高精度结果.进一步,对于半离散和向后欧拉全离散格式,分别导出了原始变量u在H1-模和中间变量p在H（div）-模意义下的超逼近性质.
刁群,郭丽娟,王俊俊[6]（2015）在《非线性Sobolev方程低阶混合元方法的超收敛分析及外推》文中研究指明本文对非线性Sobolev方程采用低阶的协调混合元（Q11+Q01×Q10）方法进行分析.利用单元的高精度结果、平均值技巧和插值后处理技术,在半离散格式下,分别导出精确解u的H1-模和中间变量p的L2-模意义下的超逼近性质和整体超收敛.进一步,利用Bramble-Hilbert引理得到三个新的渐近误差展开式.同时,通过构造合适的辅助问题,运用Richardson外推格式,得到具有精度为O（h3）阶的外推结果.
石东洋,王芬玲,樊明智,赵艳敏[7]（2015）在《sine-Gordon方程的最低阶各向异性混合元高精度分析新途径》文中认为在各向异性网格下,针对一类非线性sine-Gordon方程利用最简单的双线性元Q11及Q01×Q10元提出了一个自然满足Brezzi-Babuska条件的最低阶混合元新模式.基于Q11元的积分恒等式结果,建立了插值与Ritz投影之间在H1模意义下的超收敛估计,再结合关于Q01×Q10元的高精度分析方法和插值后处理技术,对于半离散和全离散格式,均导出了关于原始变量u和流量p=-▽u分别在H1模和L2模意义下单独利用插值或Ritz投影所无法得到的超逼近性和超收敛结果.最后,我们对其它一些着名单元也进行了分析,进一步验证了所选单元的合理性和独特优势.
王芬玲,石东洋[8]（2014）在《非线性色散耗散波动方程双线性元的高精度分析》文中研究表明针对一类非线性色散耗散波动方程研究了双线性元逼近.基于该元的高精度分析和插值后处理技巧,对于半离散格式,在精确解的合理正则性假设下得到了H11模意义下最优误差估计及超逼近性和超收敛结果.同时,通过构造一个新的外推格式,导出了具有三阶精度的外推解.最后,建立了一个全离散逼近格式及研究其解的超逼近性.
石东洋,王芬玲,赵艳敏[9]（2014）在《非线性sine-Gordon方程的各向异性线性元高精度分析新模式》文中认为在各向异性网格下,针对一类非线性sine-Gordon方程提出了线性三角形元新的高精度分析模式.基于该元的积分恒等式结果,导出了插值与Riesz投影之间的误差估计,再借助于插值后处理技术得到了在半离散和全离散格式下单独利用插值或Riesz投影所无法得到的超逼近和超收敛结果.最后,对一些常见的单元作了进一步探讨.
裴丽芳[10]（2014）在《非协调有限元方法新模式及超收敛研究》文中研究指明本文针对两类四阶变分不等式、非线性反应扩散型四阶奇异摄动方程、二阶椭圆方程、非线性sine-Gordon方程以及Stokes方程,从非协调Galerkin-有限元方法、协调和非协调混合元方法、修正加罚和各向异性有限元方法等不同角度出发深入系统的研究了其新模式的构造、理论分析（诸如收敛性、超逼近和整体超收敛现象）以及数值试验.首先,我们讨论了双边位移障碍下固支板问题的双参数非协调元方法.双边位移障碍下固支板问题对应于一类四阶变分不等式, H4正则性的缺失是导致有限元方法收敛性分析和误差估计的主要困难.作为尝试,我们首次提出了使用既能保证收敛性又计算简便的双参数非协调元来求解该问题.以一个总体自由度与Zienkiewicz元相同且对任意剖分均收敛的九参数双参数非协调元（Veubeke-Zienkiewicz）为例,通过引入连续和离散障碍问题之间起桥梁和纽带作用的辅助障碍问题,并巧妙地构造出从非协调元到一个相应熟知的协调元空间的扩展算子,得到了能量模意义下最优误差估计,并最终建立了双边位移障碍下固支板问题的双参数非协调元的一般格式.其次,针对曲率障碍下一个四阶变分不等式研究了其各向异性非协调元逼近.由于曲率障碍下四阶变分不等式求解区域是与曲率有关的凸集,并不是所有的有限元逼近都能保证解的收敛性.寻找既满足各向异性特征又能保证收敛性的非协调元是问题的难点所在.幸运的是,我们通过仔细分析发现矩形Morley元插值函数的二次部分具有各向异性特征且满足一个重要的平均值性质.从而结合函数分裂方法,首次在各向异性网格上得到了最优阶误差估计.再次,研究了extended Fisher-Kolmogorov方程（简称EFK方程）的非协调元方法. EFK方程是一个非线性时间依赖反应扩散型四阶奇异摄动方程.现有的文献只局限对正则网格上的C1-协调元分析.然而由于C1-协调元构造复杂且自由度较大,正则性条件严重制约了对解的边界层或内层效应的处理.我们首次考虑将非协调元用于求解EFK方程并尝试将收敛结果推广到各向异性网格.其主要思路是:第一步,构造李雅普诺夫（Lyapunov）函数并借助Sobolev嵌入定理,通过引入新的技巧证明了半离散和欧拉全离散格式解的存在唯一性并对非线性项进行了误差估计.第二步,直接利用插值算子、积分恒等式、导数转移技巧和Gronwall不等式得到了半离散和欧拉全离散格式在能量模意义下关于摄动参数的一致收敛性结果.通过进一步分析,我们最终建立了C0非协调板元对EFK方程的一致收敛定理.特别地,对于双参数C0非协调元逼近给出了具体误差估计.同时,我们还进行了数值实验,数值结果与理论分析是完全吻合的.最后,我们探讨了四类偏微分方程新混合元模式的超收敛分析.（I）对于二阶椭圆问题,利用带约束的非协调旋转Q1元和分片常数元构造了一个新的矩形网格上自由度最少的混合元格式.利用积分恒等式技巧、弱BB条件和插值后处理算子,得到了其超逼近性质和超收敛结果.数值实验的结果进一步说明了该格式的有效性.（II）研究了非线性sine-Gordon方程的任意四边形非协调元（修正的类Wilson元）离散格式,利用相容误差比插值误差高两阶的特殊性质,并借助于Riesz投影和广义矩形网格下插值函数协调部分的高精度分析,采取与以往文献不同的新技巧,得到了任意四边形网格下Crank-Nicolson全离散两层混合元格式的最优阶误差估计,以及广义矩形网格下的超逼近性质和矩形网格下的超收敛结果.数值实验验证了理论分析的正确性.（III）对于EFK方程,分别利用插值算子和Riesz投影算子两种不同的方法,借助于积分恒等式技巧和插值后处理算子给出了在两种不同边界条件下双线性混合元半离散和欧拉全离散格式的超收敛分析.在此基础上,我们建立了对这两种边界条件均适用的各向异性线性元（双线性元）超收敛分析的新模式,该模式利用单元的各向异性特征和积分恒等式结果,先给出Riesz投影的各向异性误差估计（这一结果是前所未有的,因为到目前为止,只有关于插值算子的各向异性特征的判别条件,而没有关于如何判别Riesz投影算子的各向异性特征的报道）,再根据插值与Riesz投影之间的估计得到超逼近性质,最后由插值后处理算子导出半离散和欧拉全离散格式在各向异性网格下单独利用插值或者Riesz投影所无法得到的超收敛结果.数值实验的结果与理论分析相一致.（IV）对于Stokes方程,我们提出将修正加罚有限元方法和L2投影方法相结合的思想,首次对由Crouzeix-Raviart型非协调线性三角形元和分片常数构成的修正加罚混合元格式得到了速度和压力的超收敛结果.该方法选取较大的罚参数就能得到较高的收敛阶,能有效地避免因使用小参数而导致的算法不稳定问题,这是传统的加罚有限元方法所无法比拟的,数值实验证明了理论分析的正确性.
二、Sobolev方程的各向异性有限元的高精度分析（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Sobolev方程的各向异性有限元的高精度分析（论文提纲范文）
（1）Maxwell方程的各向异性MECHL元的高精度分析（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 混合元的构造与主要性质 |
| 2 全离散格式下的超逼近和超收敛 |
| 3 数值算例 |
| 4 结论 |
（3）多项时间分数阶扩散方程各向异性线性三角元的高精度分析（论文提纲范文）
| 1. 引言 |
| 2. 线性三角形有限元的构造和各向异性特征 |
| 3. 全离散逼近格式 |
| 4. 逼近格式的稳定性分析 |
| 5. 超逼近和超收敛分析 |
| 6. 数值结果 |
| 7. 关于其它常见有限元的进一步讨论 |
（4）若干偏微分方程的混合有限元方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| 1.1 研究背景和国内外研究现状 |
| 1.2 论文主要研究内容和安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 Sobolev空间的一些概念、定理和相关不等式 |
| 2.2 有限元方法基本理论 |
| 2.3 混合元方法基本理论 |
| 第三章 MBE方程协调混合有限元方法高精度分析 |
| 3.1 MBE方程协调混合元方法 |
| 3.1.1 混合元空间以及变分形式 |
| 3.1.2 半离散格式的超逼近分析 |
| 3.1.3 B-E全离散格式的超逼近分析 |
| 3.1.4 C-N全离散格式的超收敛分析 |
| 3.1.5 数值例子 |
| 3.2 MBE方程协调混合元方法新的误差估计 |
| 3.2.1 半离散格式的超逼近分析 |
| 3.2.2 B-E全离散格式的超逼近分析 |
| 3.2.3 C-N全离散格式的超收敛分析 |
| 3.2.4 数值例子 |
| 第四章 Sivashinsky方程非协调混合有限元方法 |
| 4.1 Sivashinsky方程非协调混合元方法超收敛分析 |
| 4.1.1 混合元空间及变分形式 |
| 4.1.2 半离散格式的超逼近分析 |
| 4.1.3 B-E全离散格式的超收敛分析 |
| 4.1.4 数值例子 |
| 4.2 Sivashinsky方程非协调扩展混合元方法超收敛分析 |
| 4.2.1 扩展混合元空间及变分格式 |
| 4.2.2 半离散格式的超逼近分析 |
| 4.2.3 B-E全离散格式的超收敛分析 |
| 4.2.4 数值例子 |
| 第五章 四阶双曲方程混合有限元方法新估计 |
| 5.1 混合元空间及变分形式 |
| 5.2 半离散格式的超收敛分析 |
| 5.3 全离散格式下的超收敛分析 |
| 5.4 数值例子 |
| 第六章 Poisson特征值问题非协调混合有限元方法 |
| 6.1 Poisson特征值问题非协调改进类Wilson有限元方法 |
| 6.1.1 改进类Wilson元及变分形式 |
| 6.1.2 超逼近和超收敛分析 |
| 6.1.3 渐近展开和外推 |
| 6.1.4 数值例子 |
| 6.2 Poisson特征值问题非协调新混合元格式 |
| 6.2.1 新格式以及收敛性分析 |
| 6.2.2 特征值下界逼近 |
| 6.2.3 超逼近和超收敛分析 |
| 6.2.4 渐近展开和外推 |
| 6.2.5 数值例子 |
| 第七章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间发表的学术论文与研究成果 |
| 致谢 |
（5）Sobolev方程一个新的H1-Galerkin混合有限元分析（论文提纲范文）
| §1引言 |
| §2混合元的构造及性质 |
| §3半离散格式下的超逼近分析 |
| §4全离散格式下的超逼近分析 |
（7）sine-Gordon方程的最低阶各向异性混合元高精度分析新途径（论文提纲范文）
| 引言 |
| 2. 混合元的构造、性质及问题的逼近 |
| 3. 半离散格式下的超逼近和超收敛 |
| 4. 全离散格式及超逼近分析 |
| 5. 关于其它着名单元的分析 |
（9）非线性sine-Gordon方程的各向异性线性元高精度分析新模式（论文提纲范文）
| 1. 引言 |
| 2. 线性三角有限元各向异性特征 |
| 3. 问题的逼近和超收敛分析 |
| 4. 全离散格式及误差分析 |
| 5. 有关其它常见单元的进一步讨论 |
（10）非协调有限元方法新模式及超收敛研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| §1.1 研究背景和国内外研究现状 |
| §1.2 论文主要研究内容和安排 |
| 第二章 预备知识 |
| §2.1 Sobolev 空间的一些概念、定理和常用不等式 |
| §2.2 有限元方法基本理论 |
| §2.3 非协调元和双参数法 |
| §2.4 各向异性基本理论 |
| §2.5 混合有限元方法及理论 |
| 第三章 两类四阶变分不等式的非协调元方法 |
| §3.1 双边位移障碍下固支板问题的双参数元方法 |
| §3.1.1 一个 9- 参双参数元 |
| §3.1.2 收敛性分析 |
| §3.1.3 双参数非协调元逼近的一般格式 |
| §3.2 曲率障碍下一个四阶变分不等式的各向异性非协调元分析 |
| §3.2.1 单元构造 |
| §3.2.2 误差估计 |
| 第四章 EFK 方程的非协调有限元分析 |
| §4.1 非协调元半离散格式收敛性分析 |
| §4.2 欧拉全离散格式和误差估计 |
| §4.3 C0非协调板元对 EFK 方程的一致收敛定理 |
| §4.4 双参数 C0非协调板元逼近的误差估计 |
| §4.5 数值实验 |
| 第五章 混合元方法超收敛分析 |
| §5.1 椭圆问题一个新的非协调混合元格式超收敛分析 |
| §5.1.1 新非协调混合元格式的超收敛分析 |
| §5.1.2 数值实验 |
| §5.2 非线性 sine-Gordon 方程四边形非协调元分析 |
| §5.2.1 Crank-Nicolson 全离散格式最优误差估计 |
| §5.2.2 超逼近和超收敛结果 |
| §5.2.3 数值实验 |
| §5.3 EFK 方程各向异性混合元方法超收敛分析 |
| §5.3.1 混合元半离散格式 |
| §5.3.2 欧拉全离散混合元格式和误差估计 |
| §5.3.3 超收敛结果 |
| §5.3.4 另一种边界条件下的 EFK 方程混合元方法的超收敛分析 |
| §5.3.5 EFK 方程各向异性线性元 (双线性元) 超收敛分析的新模式 |
| §5.3.6 数值实验 |
| §5.4 Stokes 方程非协调元加罚格式的超收敛分析 |
| §5.4.1 修正加罚格式和一些预备知识 |
| §5.4.2 用 L2投影方法进行超收敛分析 |
| §5.4.3 数值实验 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 个人简历、在学期间发表与完成的学术论文及研究成果 |
| 致谢 |
四、Sobolev方程的各向异性有限元的高精度分析（论文参考文献）
- [1]Maxwell方程的各向异性MECHL元的高精度分析[J]. 石东洋,李超群. 信阳师范学院学报(自然科学版), 2020(01)
- [2]非线性发展方程的无网格比高精度有限元方法[J]. 石东洋,王俊俊. 数学杂志, 2019(01)
- [3]多项时间分数阶扩散方程各向异性线性三角元的高精度分析[J]. 王芬玲,樊明智,赵艳敏,史争光,石东洋. 计算数学, 2018(03)
- [4]若干偏微分方程的混合有限元方法研究[D]. 王乐乐. 郑州大学, 2017(08)
- [5]Sobolev方程一个新的H1-Galerkin混合有限元分析[J]. 刁群,石东洋,张芳. 高校应用数学学报A辑, 2016(02)
- [6]非线性Sobolev方程低阶混合元方法的超收敛分析及外推[J]. 刁群,郭丽娟,王俊俊. 应用数学, 2015(03)
- [7]sine-Gordon方程的最低阶各向异性混合元高精度分析新途径[J]. 石东洋,王芬玲,樊明智,赵艳敏. 计算数学, 2015(02)
- [8]非线性色散耗散波动方程双线性元的高精度分析[J]. 王芬玲,石东洋. 数学物理学报, 2014(06)
- [9]非线性sine-Gordon方程的各向异性线性元高精度分析新模式[J]. 石东洋,王芬玲,赵艳敏. 计算数学, 2014(03)
- [10]非协调有限元方法新模式及超收敛研究[D]. 裴丽芳. 郑州大学, 2014(02)