Banach 空间中一阶和二阶非线性演化方程的反周期解

一、ANTI-PERIODIC SOLUTIONS FOR FIRST AND SECOND ORDER NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS IN BANACH SPACES（论文文献综述）

尚随明^[1]（2019）在《临界点理论、分支理论在几类微分方程中的应用》文中认为微分方程具有广泛的应用,例如生物、化学、经济、物理与技术问题等都可以转化为微分方程的求解问题。一方面非线性项和边值条件的引入使得微分方程解的研究更加复杂,适定性理论被用于解决这一问题。另一方面微分生态系统的研究贯彻了可持续发展战略。自然环境调控和人为干预使得微分系统解的运动轨线的性态研究困难重重,微分方程解的定性、稳定性理论应运而生。因此微分方程的适定性理论、定性与稳定性理论一直是数学领域研究的热点。本文针对这两部分研究热点问题,展开进一步讨论。本文主要利用光滑临界点理论、非光滑临界点理论、Banach空间上的不动点定理、空间分解理论、变分不等式等对非线性脉冲微分方程、微分包含边值问题解的存在性及多解性进行了研究。此外,利用特征值理论、分支理论对微分模型平衡态存在性、稳定性及分支问题进行研究。全文分为七章来论述。第一章绪论,一方面介绍非线性脉冲微分方程边值问题的提出、应用和研究方法。且给出了变分法、临界点理论发展历史和研究近况的详细介绍。另一方面介绍微分模型定性与稳定性的研究方法、发展历程,特别地对捕食-食饵模型的背景及意义、研究历史、研究方法给出详细论述。同时给出本文的主要研究工作。第二章预备知识,给出本文研究所使用的定义、引理、不等式和定理,为后续章节做准备。第三章利用临界点理论研究四阶脉冲微分方程反周期边值问题解的存在性。本章节研究内容分为两部分,第一部分依据特征值的大小进行正交空间分解,结合鞍点定理给出四阶脉冲微分方程反周期边值问题解的存在性。与己有文献相比,本章研究的微分模型更具有一般性和实际意义,推广了已有结论。第二部分定义Banach空间,利用不动点定理给出辅助问题解的存在性。同时利用临界点理论、辅助问题和研究问题解的关系,给出四阶脉冲微分方程反周期边值问题解的存在性及解的性质。在解空间的闭凸子集上任意极小化序列都有界,这更有利于极值定理的应用。此外,本章给出了能量泛函临界点是研究问题经典解的新的证明方法。第四章利用临界点理论研究四阶脉冲微分方程周期边值问题解的多解性。本章节第一部分利用Lax-Milgram定理给出线性问题解的存在性,同时利用山路定理和变分法给出四阶脉冲微分方程周期边值问题的多解性。第二部分利用极值定理研究了带有振荡性非线性项的四阶脉冲微分方程周期边值问题无穷多个解的存在性及解的收敛性。主要方法是构造辅助问题得到其无穷多个解的存在性和收敛性,利用变换将辅助问题解等价为研究问题的解。脉冲效应是以往文献所没有考虑的,研究中非线性项的限定被弱化,本章研究内容拓展了己有研究工作。第五章利用非光滑临界点理论研究带有相对论算子和脉冲的微分包含解的存在性和多解性。第一部分利用非光滑临界点定理对非线性项、脉冲项做出限定得到非负解的存在性。临界点范数大小的限定使得奇异问题和非奇异问题等价。第二部分利用非光滑临界点定理研究带有振荡性非线性项的脉冲微分包含边值问题,给出无穷多个解的存在性,同时解的收敛性使得奇异问题和非奇异问题互相转化。与己有的带有相对论算子文献相比,脉冲效应被考虑,且本章采用了新的方法使得奇异系统和非奇异系统的解等价。此外,新的方法被用于判断解的非负性和范数收敛,进一步得到了新的结论。第六章利用特征值理论和分支理论对微分模型的稳定性进行研究。第一部分主要利用特征值理论分析改进后的捕食-食饵模型平衡态的稳定性,利用分支理论研究模型的分支类型和分支的稳定性及规范型。第二部分研究从传染病模型分离出的具有交叉项的的微分模型平衡态的存在性、多重性、局部稳定性、全局稳定性。进一步给出了数值模拟,验证了理论分析的正确性。本章首次将时滞和分段常数变量同时引入捕食-食饵模型,并得到两种分支并存的结果,是不同于以往文献的新结果。此外,变量之间均有交叉项模型的研究更具有一般性。直接对特征函数分析较为复杂,本章通过降幂简化特征函数,更有利于特征值分析。本章研究工作在理论上全面地证明了此类模型的稳定性,丰富了已有工作。第七章对本文的研究内容进行总结,并对后续研究问题进行展望。

阴少辉^[2]（2018）在《一类脉冲微分方程边值问题解的存在性》文中研究指明本文将研究在某些边界条件下,脉冲微分方程解的存在性问题.全文内容总共分为两章.第一章的内容为本文的绪论,本章将介绍包含边界条件的脉冲微分方程研究意义和背景、国内外学者研究现状和相关定义及符号说明以及本文的主要工作.第二章的主要内容是运用Leray-Schauder二择一定理,研究如下一阶含有σ边界条件的脉冲微分方程u’（t）= Gu（t）+ f（t）a.e.t∈ J =[0,T],t≠tk,u（0）= σn（T）,σ∈[-1,1),Δu（tk）= Ik(u（tk）,解的存在性,其中 G:Rn → Rn 是连续的,f:[0,T]→ Rn,f（·）∈ L2（[0,T]）,Ik:Rn → Rn是连续的,k=1,2,...,p,Rn为n维欧式空间,Ik∈C[Rn,Rn],Δx|t=tk=x（tk+）-x（tk-）,x（tk-）=x（tk）,0<t1<t2<...<tk<...<tp<T.证明了该方程解存在性的结论,推广了前人的研究成果,并给出了一个相关实例.

卢亮^[3]（2018）在《几类非线性微分变分不等式问题解的存在性研究》文中提出微分变分不等式问题的研究为含参微分方程和动态变分不等式问题的研究提供了一个统一的框架,具有重要的理论意义和应用背景。例如在理想二极管电路、微分Nash博弈、接触物体的库仑摩擦、动态交通网络和含可变结构的混杂工程系统等应用问题中,微分变分不等式都能提供一种有效的建模方法。非线性微分变分不等式研究是非线性泛函分析、微分方程和变分不等式等数学分支与控制理论学科相互交叉与渗透的崭新领域,具有广泛的发展前景。本文将研究无穷维空间中的几类非线性微分变分不等式问题,主要包括以下内容:（1）研究一类在抽象空间中的非线性二阶微分变分不等式反周期问题。首先,给出并证明变分不等式解集的一些性质。然后,在非线性项不具有Lipschitz连续性的情况下,利用Scorza-Dragoni性质、拓扑度理论和隐函数的Filippov引理首次证明微分变分不等式反周期问题解的存在性。（2）考虑一类带有非局部边界条件的,由非线性发展方程和广义混合变分不等式组成的微分变分不等式问题。首先,给出并证明广义混合变分不等式解集的性质。其次,利用C0-半群无穷小生成元的Yosida逼近和拓扑度理论相结合的新方法证明微分变分不等式问题温和解的存在性。最后,证明微分变分不等式问题温和解集的弱紧性。（3）研究一类带有非局部边界条件的,由具有时间依赖算子的非线性发展包含方程和广义变分不等式组成的微分变分不等式问题。首先,给出广义变分不等式解集的性质。然后,在约束集、发展算子和非线性项不具有紧性的情况下,主要利用Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理证明发展型微分变分不等式问题温和解的存在性。（4）考虑一类具有非局部边界条件的,由带有时滞的非线性分数阶发展方程和椭圆型变分不等式构成的分数阶微分变分不等式问题。首先,结合椭圆变分不等式解集的性质,并利用非紧性测度和k-集压缩不动点定理,证明分数阶微分变分不等式问题温和解的存在性。然后利用Banach压缩映射原理证明温和解的存在唯一性。（5）研究一类带有随机扰动的非线性分数阶发展型H-变分不等式控制问题。首先,给出系统温和解存在性的充分条件。然后,通过应用随机分析技术,分数阶微积分,算子半群理论,多值映射的不动点定理和广义Clarke次微分的性质获得并证明了温和解的存在性。接着,运用不动点技术建立并证明了控制系统的能控性。最后,举例子说明主要结果的应用。

李知远^[4]（2016）在《Banach空间和Hilbert空间中发展方程的反周期解》文中研究表明发展方程反周期解的研究起源于对其周期解的研究,由Okochi于文献[1]中开创.她指出方程x’（t）∈-（?）φ（x（t））+f（t）,a.e.t∈R一般不存在周期解,所以她考虑对以上方程增加适当条件.在文献[1]中Okochi证明了方程有解.其中φ:（φ）（?）H→H是下半连续的凸泛函,oφ是其次微分.f（t）：R→H满足f（t+T）=-f（t）并且f（t）∈L2（0,T）.Y Q.Chen[7-11]研究了极大单调算子,自共轭算子以及凸函数及其次微分相关的发展方程反周期解问题.在文献[18]中,Y.Q.Chen证明方程存在弱解,其中A:D（A）（?）H→H是线性稠定的自共轭闭算子并且只有点谱,f（t）:R →H满足f（t+T）=-f（t）并且f（t）∈L2（0,T）本文考虑非线性方程是否有弱解.我们对L（t,u）添加适当条件,将会证明上述方程有解以及有唯一解.同时,这篇文章还分别在Banach空间和Hilbert空间中讨论了如下反周期问题

李知远,陈金贵,刘敬华^[5]（2015）在《Hilbert空间中非线性发展方程的反周期解》文中认为本文利用拓扑度和不动点理论,研究了一阶和二阶非线性发展方程反周期弱解的存在性和唯一性.

刘小佑^[6]（2013）在《几类微分包含解的存在性及其应用》文中提出本文分别对几类发展包含的解的存在性及其在控制中的一些应用进行了研究.其中包括：一类一阶发展包含的反周期解的存在性,以及它在反周期条件下的extremal解；一类抛物型H-半变分不等式的反馈控制；一类分数阶半线性微分包含的mild解的存在性及其Bang-Bang控制等；最后我们考虑了一类二阶项带小参数ε的抽象二阶发展包含,我们证明了它的弱解的存在性以及当小参数ε→0时,它所对应的弱解趋于与该二阶发展包含对应的一阶发展包含的弱解.全文由以下六章组成.第一章,我们介绍了问题的研究背景和本文具体的研究内容及主要理论成果.第二章是有关本文的一些符号约定以及所需要的预备知识.其中主要是有关单调算子,集值分析,广义梯度和分数阶微积分的基本概念和重要结论.第三章,在多值项分别取凸值和非凸值的情形下,利用反周期条件下导数算子的极大单调性,集值分析中的选择定理以及L-伪单调算子理论等工具,我们证明了一类伪单调型发展包含的反周期（extremal）解的存在性.我们的方法可适用了抛物型H-半变分不等式的反周期问题.第四章,我们考虑了一类抛物型H-半变分不等式的反馈控制问题.在适当的条件下,在取非凸值控制限制U（t,x（t））,以及在它的凸上半连续正则化V（t,x（t））作为控制限制这两种情况下,我们得到了控制系统解的存在性和该控制系统的relaxation性质.第五章是针对一类带Caputo分数阶导数的半线性微分包含进行了讨论.主要内容为：多值项F取非凸值时mild解的存在性；右端项为F（t,x（t））,coF（t,x（t））)和extcoF（t,x（t））时,它们解之间的关系；最后,还考虑了有关该类方程的一类非凸最优控制问题.第六章,我们考虑了一类二阶项带小参数ε的抽象二阶非线性发展包含.在多值项F取凸值和非凸值这两种情况下：首先,我们都证明了问题的弱解的存在性.然后分析了当ε→0,该问题对应的一列解{μδ}的渐近行为.我们证明了它存在一个极限函数u,并且该函数u就是与该二阶发展包含相对应的一阶发展包含的解.参考文献125篇.

张洪彦^[7]（2012）在《几类微分方程反周期解的存在唯一性》文中认为本篇硕士学位论文主要讨论了几类微分方程反周期解的存在性和唯一性.全文内容共分四章,每章主要工作如下：第一部分,简要介绍微分方程反周期解发展的基本情况及相关问题的研究背景.第二部分,我们利用Banach压缩映射原理得到了一类半线性分数阶微分方程反周期温和解存在的充分条件,推广了已有文献的相关结果.第三部分,利用半群理论和Banach压缩映射原理以及Schauder不动点定理分别得到一类半线性演化方程反周期温和解存在性的充分条件,推广了己有文献的相关结果.第四部分,利用Leray-Schauder度理论,研究了一类具有分布时滞的n-阶微分方程反周期解存在的充分条件.并给出一个实例验证了得到的结果.

田龙伟^[8]（2012）在《关于两类微分方程系统的反周期解》文中认为在牛顿和莱布尼茨创立系统的微积分理论之前,人们在物理学的研究领域已经开始对微分方程展开了研究。最早最着名的就是伽利略在研究物体的自由落体运动的时候,发现了历史上的第一个常微分方程x=g，并通过研究,求出了此方程的解为这就是着名的自由落体公式。随着牛顿和莱布尼茨创立了微积分,人们对微分方程的研究迈入了新的时代,随着多种多样的研究工具的使用,微分方程领域的研究取得了很多的研究成果,其中周期解的研究是其中最重要的方面之一。随着对微分方程的周期解研究的深入,人们逐渐发现了存在着一类和周期解不同但又有着千丝万缕联系的一种解-反周期解。真正对于周期解展开研究已经是上世纪八十年代的事情,经过几十年的发展,反周期解领域也用得到了很多的研究成果,也由此衍生出了相当多的研究工具,比较有代表性的有Leray-Schauder度理论,Leray-Schauder不动点定理和傅里叶分析法相结合,耦合上下解和单调迭代法,拓扑度理论和上下解理论等,它们的使用使得反周期微分方程理论获得了极大的发展。本文对变参数的p-Laplacian中立型时滞泛函微分方程和具有分布时滞的Lienard方程进行了系统的研究。这两类方程是人们最近关注的比较多的方程,成果也比较多。本文利用Leray-Schauder不动点定理,对这两类方程进行了深入的分析,得到了相应存在的充分条件,使得这一理论更加的完善。本文在第一部分首先介绍了反周期解研究的历史背景和国内外最近的研究成果,然后通过对反周期解的基本概念和理论的介绍,引入了要研究的系统,给出了研究得到的主要结论。第二部分对一类变参数的p-Laplacian时滞泛函微分方程的详细研究情况进行了介绍,对结论进行了详细的理论阐明和推导。第三部分给出了一类具有分布时滞Lienard方程的具体成果,对结论的合理性进行了详细的论证。第四部分对本文的研究工作进行总结,并且给出部分需要进一步研究的问题,说明了研究此问题的前景。

李玉华^[9]（2011）在《关于极大单调映象方程的反周期解和边值问题的研究》文中指出随着科学技术的发展,在自然科学和社会科学领域中广泛存在的非线性问题,越来越引起人们的关注,而且许多非线性问题的研究最终可归结为非线性发展方程来描述。非线性发展方程在很多领域都有很重要的作用,证明这类方程反周期解的存在性是一个热门的研究课题,当今国际与国内有很多的学者在从事这方面的研究。但是,由于非线性理论极为复杂,并且叠加原理又不成立,所以证明非线性发展方程反周期解的存在性比较困难。尤其是当一阶非线性发展方程含有极大单调映象时,由于极大单调映象不是在所有的条件下都存在反周期解,所以对其反周期解的存在性和边值问题的研究更是难上加难,而且目前这方面的研究还不是很多,因此研究此类非线性发展方程反周期解的存在性很有必要。众所周知,周期性是自然界普遍存在的现象,对非线性发展方程来说也不例外。许多专家和学者很早就开始研究非线性发展方程的周期解问题,并且得到了许多有用的结论,研究也比较完善,日渐趋于成熟。非线性发展方程反周期解的研究是与周期解的研究密切相连的,日本学者H.Okochi给出了一类抛物方程不具有周期解的例子,但其具有反周期解,首次提出了反周期解的存在性问题。在H.Okochi提出反周期解的问题之后,许多学者对其进行了深入的研究。他们把研究周期问题的方法推广到反周期问题上来,取得了不少有意义的结果。现在,反周期问题在物理,生物,医学等方面有着广泛的应用。本文主要研究在实Hilbert空间上,含有极大单调映象的一阶发展方程反周期解的存在性以及反周期边值问题,总共分为四个章节。第一章为绪论部分,详细的介绍了非线性发展方程的概念、分类、一般形式和研究背景,以及非线性发展方程反周期解的研究现状和本文的主要研究内容。第二章主要介绍了关于极大单调映象以及反周期解的一些重要结论和定理。第三章主要研究了在实Hilbert空间上,含有极大单调映象的一阶非线性发展方程反周期解的存在性及其应用。文中首先给出了含有极大单调映象方程的一个存在性定理,然后应用极大单调映象理论方法证明了Okochi的结果,并给出了极大单调映象的一些假设条件,进一步在此假设条件下讨论了一类含有极大单调映象的一阶非线性发展方程的反周期解的存在性,从而推广了Okochi的结果。第四章主要研究了在实Hilbert空间上,含有极大单调映象的一阶半线性发展方程的反周期边值问题。文中将极大单调映象定义为一个线性的算子,并在此假设条件下利用第二章中给出的含有极大单调映象方程的一个存在性定理证明了一类含有极大单调映象的一阶半线性发展方程的反周期边值解的存在性与唯一性。然后在此基础之上推广了其结果,使其应用更广泛。在这个过程中,主要运用了非线性泛函分析理论中的拓扑度理论来求解,即运用Schauder不动点定理先求出与原方程等价的积分方程形式的算子K是全连续算子,再用Leray-Schauder拓扑度的同伦不变性得出原方程有解。

孙玉虎^[10]（2011）在《几类微分方程的反周期解问题》文中研究指明近年来,微分方程反周期解问题频繁出现在生物工程、化学工程、物理学和医药学等众多科学领域。常微分方程反周期解的研究始于1988年,H.Okochi利用Schauder不动点定理证明了抽象型发展方程反周期解的存在性。之后,大批学者们对微分方程反周期问题进行了更加广泛深入的研究,他们深化了研究方法,把研究周期问题的方法应用到研究反周期问题上,取得了很多有现实意义的成果。全文分三章：第一章为绪论,主要介绍微分方程求解问题的发展与研究背景；第二章主要介绍非线性高阶常微分方程、发展方程、Duffing方程的反周期解问题研究结果；第三章考虑一阶脉冲方程通过使用Schauder不动点定理,证明了一阶脉冲方程反周期解的存在性。

二、ANTI-PERIODIC SOLUTIONS FOR FIRST AND SECOND ORDER NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS IN BANACH SPACES（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、ANTI-PERIODIC SOLUTIONS FOR FIRST AND SECOND ORDER NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS IN BANACH SPACES（论文提纲范文）

（1）临界点理论、分支理论在几类微分方程中的应用（论文提纲范文）

（2）一类脉冲微分方程边值问题解的存在性（论文提纲范文）

（3）几类非线性微分变分不等式问题解的存在性研究（论文提纲范文）

（4）Banach空间和Hilbert空间中发展方程的反周期解（论文提纲范文）

（6）几类微分包含解的存在性及其应用（论文提纲范文）

（7）几类微分方程反周期解的存在唯一性（论文提纲范文）

（8）关于两类微分方程系统的反周期解（论文提纲范文）

（9）关于极大单调映象方程的反周期解和边值问题的研究（论文提纲范文）

（10）几类微分方程的反周期解问题（论文提纲范文）

四、ANTI-PERIODIC SOLUTIONS FOR FIRST AND SECOND ORDER NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS IN BANACH SPACES（论文参考文献）

• [1]临界点理论、分支理论在几类微分方程中的应用[D]. 尚随明. 北京邮电大学, 2019(08)
• [2]一类脉冲微分方程边值问题解的存在性[D]. 阴少辉. 广东工业大学, 2018(12)
• [3]几类非线性微分变分不等式问题解的存在性研究[D]. 卢亮. 南京理工大学, 2018(07)
• [4]Banach空间和Hilbert空间中发展方程的反周期解[D]. 李知远. 广东工业大学, 2016(09)
• [5]Hilbert空间中非线性发展方程的反周期解[J]. 李知远,陈金贵,刘敬华. 岭南师范学院学报, 2015(06)
• [6]几类微分包含解的存在性及其应用[D]. 刘小佑. 中南大学, 2013(03)
• [7]几类微分方程反周期解的存在唯一性[D]. 张洪彦. 安徽大学, 2012(10)
• [8]关于两类微分方程系统的反周期解[D]. 田龙伟. 安徽大学, 2012(10)
• [9]关于极大单调映象方程的反周期解和边值问题的研究[D]. 李玉华. 广东工业大学, 2011(10)
• [10]几类微分方程的反周期解问题[D]. 孙玉虎. 广东工业大学, 2011(11)

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